\textbf{Zadání:}\ Vypočítejte\ objem\ a\ povrch\ pravidelného\ šestibokého\ hranolu,\
jsou-li\ dány\ délky \ jeho\ tělesových\ úhlopříček\ u_1,\ u_2\ 
vycházejících\ z\ téhož\ vrcholu.

Nejprve\ musíme\ vypočítat\ hranu\ [a]\ a\ výšku\ [v].

a:\
\Delta ABJ\ je\ pravoúhlý\ (|∢ABJ|=90°).\ Podle\ \textbf{Pythagorovy\ věty:}\
|AB|^{2}=|AJ|^2-|BJ|^2\
a^2={u_2}^2-{u_1}^2\
a=\sqrt{{u_2}^2-{u_1
}^2}

u_1

u_2

v:\ 
\Delta ADJ\ je\ také\ prvoúhlý\ (|∢ADJ|=90°).\
|DJ|^{2}=|AJ|^2-|AD|^2\
v^2={u_2}^2-{(2a)}^2\
v^2={u_2}^2-{\left(2\sqrt{{u_2}^2-{u_1}^2}\right)}^2\
v=\sqrt{{u_2}^2-4{u_2}^2+4{u_1}^2}\
v=\sqrt{4{u_1}^2-3{u_2}^2}

\textbf{Objem:}\
V_{hr}=S_p\cdot v\
Podstovu\ tvoří\ providelný\ 6-tiúhelník.\ Jeho\ obsah\ je\ součet\ 6\ pravidelných\ \Delta\
se\ stranou\ délky\ a.\
S_p=6\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)}{2}\
V_{hr}=\frac{3\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)}{2}\cdot \sqrt{4{u_1}^2-3{u_2}^2}

\textbf{Povrch:}\
S_{hr}=2S_p+S_{pl}\
Plášt\ se\ skládá\ ze\ 6\ obdélníků\ o\ stranách\ a,\ v.\
S_{pl}=6av=6\sqrt{{u_2}^2-{u_1}^2}\cdot \sqrt{4{u_1}^2-3{u_2}^2}\
S_{hr}=2\frac{3\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)}{2}+6\sqrt{{u_2}^2-{u_1}^2}\cdot \sqrt{4{u_1}^2-3{u_2}^2}\
S_{hr}=3\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)+6\sqrt{{u_2}^2-{u_1}^2}\cdot \sqrt{4{u_1}^2-3{u_2}^2}\
S_{hr}=3\left(\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)+2\sqrt{\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)\cdot\left(4{u_1}^2-3{u_2}^2\right)}\right)\
S_{hr}=3\left(\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)+2\sqrt{4{\left(u_2u_1\right)}^2-4{u_1}^4+3{\left(u_2u_1\right)}^2-3{u_2}^4}\right)\
S_{hr}=3\left(\sqrt3\left({u_2}^2-{u_1}^2\right)+2\sqrt{-4{u_1}^4+7{\left(u_2u_1\right)}^2-3{u_2}^4}\right)

krok

zpět

\textbf{Podmínky:}\
\begin{array}{} {u_2}^2>{u_1}^2 \ u_2>u_1  \end{array} ∧\begin{array}{} 4{u_1}^2>3{u_2}^2 \ 2u_1>\sqrt3u_2  \end{array}

vynuluj

udělej

velikosti úhlopříček

podmínky

řešení (bez postupu)

u_1 = 3.2 (slider from 0 to 9, step 0.1)
u_2 = 3.4 (slider from 0 to 9, step 0.1)
q: sqrt(u_2^(2) - u_1^(2))
S = (-0.6577492856819012, -0.005697239972088042, 0)
c = Circle(S, q, xOyPlane)
A = Point(c)
d = Circle(A, q, xOyPlane)
B = Intersect(c, d, 1)
e = Circle(B, q, xOyPlane)
C = Intersect(e, c, 2)
f = Circle(C, q, xOyPlane)
D = Intersect(c, f, 1)
g = Circle(D, q, xOyPlane)
E = Intersect(g, c, 2)
h = Circle(E, q, xOyPlane)
F = Intersect(c, h, 1)
mnohoúhelník1, a, b, c_1, d_1, e_1, f_1 = Polygon(A, B, C, D, E, F)
i, G, H, I, J, K, L, stenaABHG, stenaBCIH, stenaCDJI, stenaDEKJ, stenaEFLK, stenaAFLG, stenaGHIJKL, hranaAG, hranaBH, hranaCI, hranaDJ, hranaEK, hranaFL, hranaGH, hranaHI, hranaIJ, hranaJK, hranaKL, hranaGL = Prism(mnohoúhelník1, sqrt(u_2^(2) - ((2 * q))^(2)))
j = Segment(B, J)
k = Segment(A, J)
l: 0
mnohoúhelník2, j_1, a_1, b_1 = Polygon(A, B, J)
mnohoúhelník3, j_2, a_2, d_2 = Polygon(A, D, J)
m = true
n: false
o = false